blob: e34bf806e29fb3ac6c6f9c0329954bd22da172dc (
plain) (
blame)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
|
---
id: c3yck8
date: 2026-07-26T19:24:32+0300
languages: [ru]
aliases:
reviews:
tags:
- draft
- knowledge
---
# Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
## Скалярное произведение
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \alpha$
где $\alpha$ - угол между векторами
В координатах скалярное произведение определено как:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$
Скалярное произведение позволяет найти угол между двумя векторами:
$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$
Если скалярное произведение двух векторов равно нулю - они перпендикулярны.
## Векторное произведение
Векторным произведением двух векторов называется вектор
$\vec{a} \times \vec{b}$
который:
- перпендикулярен a
- перпендикулярен b
- направлен по правилу правой руки
Длина вектора векторного произведения равна
$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \alpha$
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y
& b_z \end{vmatrix} = \vec{i} \begin{vmatrix}a_y & a_z \\ b_y & b_z\end{vmatrix} - \vec{j}
\begin{vmatrix}a_x & a_z \\ b_x & b_z\end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix}a_x & a_y \\ b_x &
b_y\end{vmatrix}$
Длина векторного произвещения равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b.
Если векторное произведение равно нулевому вектору - векторы коллинеарны.
Векторное произведение антикоммутативно.
## Смешанное произведение
Смешанным произведением трёх векторов называется число, равное
$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$
Смешанное произведение можно вычислить как определитель:
$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \begin{vmatrix}a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z
\end{vmatrix}$
$ = c_x \begin{vmatrix}a_y & a_z \\ b_y & b_z\end{vmatrix} - c_y \begin{vmatrix}a_x & a_z \\ b_x &
b_z\end{vmatrix} + c_z \begin{vmatrix}a_x & a_y \\ b_x & b_y\end{vmatrix}$
Абсолютное значение смешанного произведения равно объёму параллелепипеда, построенного на трёх
векторах.
Если три вектора лежат в одной плоскости (компланарны), то смешанное произведение равно нулю.
# Up
- [Аналитическая геометрия](6nuvmj)
|
