---
id: mad3hd
date: 2026-07-26T21:58:01+0300
languages: [ru]
aliases:

reviews:

tags:
- draft
- knowledge
---
# Вычисление расстояний и углов между точками, прямыми и плоскостями в пространстве

## Расстояние между двумя точками
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

## Расстояние от точки до плоскости
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

## Расстояние от точки до прямой на плоскости
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

## Расстояние от точки до прямой в пространстве
Воспользуемся свойством векторного произведения: оно равно площади параллелограмма, построенного 
двумя векторами a и b.

Если нам дана точка $M_0$ от которой надо найти расстояние до прямой, заданной направляющим 
вектором и точкой, лежащей на ней ($\vec{s}$ и $M_1$), то можно использовать векторное произведение:
$S = |\vec{M_0 M_1} \times \vec{s}|$
$S = |\vec{s}| d$

$d = \frac{|\vec{M_0 M_1} \times \vec{s}|}{|\vec{s}|}$

## Расстояние между двумя параллельными прямыми
Обе прямые имеют общий направляющий вектор s.
Находим по одной точке от каждой прямой, и пользуемся расстоянием от точки до прямой в пространстве.

## Расстояние между скрещивающимися прямыми
$l_1 : \vec{r} = \vec{r}_1 + t \vec{a}$
$l_2 : \vec{r} = \vec{r}_2 + s \vec{b}$
r1 и r2 - точки на прямых l1 и l2 соответственно


$d = \frac{[\vec{a}, \vec{b}, (\vec{r}_2 - \vec{r}_1)]}{|\vec{a} \times \vec{b}|}$

## Угол между векторами
С помощью скалярного произведения можно найти косинус угла между векторами.

## Угол между прямыми
Прямые задаются с помощью направляющего вектора.
Находим угол между двумя направляющему векторами.

## Угол между двумя плоскостями
Плоскости задаются нормальными векторами.
Находим угол между двумя нормальными векторами.

## Угол между прямой и плоскостью
Прямая задаётся направляющим вектором.
Плоскость задаётся нормальным вектором.
Находим угол между этими двумя векторами.

Важно учесть, что это угол между нормалью и прямой.
Поэтому надо работать либо с синусом в формуле, либо находить дополнительный угол (90 - \alpha).

## Расстояние между параллельными плоскостями
У параллельных плоскостей одинаковый нормальный вектор.
Поэтому
$d = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

## Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью
Можно взять любую точку на прямой, и найти от неё расстояние до плоскости.

# Up
- [Аналитическая геометрия](6nuvmj)