---
id: bizlko
date: 2026-07-26T20:52:20+0300
languages: [ru]
aliases:

reviews:

tags:
- draft
- knowledge
---
# Уравнения прямых на плоскости

## Общее уравнение прямой
$Ax + By + C = 0$
(A и B не равны нулю одновременно)

Вектор $\vec{n} = (A, B)$ является нормальным вектором прямой.
Направляющий вектор можно взять как $\vec{s} = (-B, A)$

## Параметрическое уравнение прямой
$\begin{cases}x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt\end{cases}$
где $t \in R$

### Векторная форма
$\vec{r} = \vec{r}_0 + t \vec{s}$

## Каноническое уравнение
Из параметрического уравнения можно исключить t:
$\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b}$
В данной форме, $(a, b)$ - направляющий вектор.

## Уравнение прямой через точку и направляющий вектор
Пусть прямая проходит через точку $M_0(x_0,y_0)$ и имеет направляющий вектор
$\vec{s} = (a,b)$.

С помощью этих данных можно построить параметрическое уравнение или каноническое уравнение прямой.

## Уравнение прямой через две точки
Для определения прямой нам необходима точка и направляющий вектор.
Если нам даны две точки, то мы может найти направляющий вектор через них.

Уравнение можно записать в форме параметрического уравнения
$\begin{cases}x = x_1 + (x_2 - x_1)t \\ y = y_1 + (y_2 - y_1)t\end{cases}$
или канонического уравнения
$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$
, а также в виде определителя
$\begin{vmatrix}x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1\end{vmatrix} = 0$
После раскрытия определителя получается общее уравнение.

## Уравнение через точку и угловой коэффициент
$y - y_0 = k(x - x_0)$

## Взаимное расположение прямых
Прямые параллельны, если их нормальные векторы коллинеарны:
$A_1 B_2 - A_2 B_1 = 0$
Прямые перпендикулярны, если их нормальные векторы перпендикулярны.
$A_1 A_2 + B_1 B_2 = 0$

# Up
- [Аналитическая геометрия](6nuvmj)

# Related
- [Уравнения прямых и плоскостей в пространстве](suelaw)